读过《思考的乐趣》的朋友一定还记得最后一章中那个令人匪夷所思的四维超立方体（hypercube），生活在三维世界中的我们居然也可以去想象更高维的空间，真是有趣。
建模
可视化的第一步就是建模，类似于三维立方体，用四维坐标（x, y, z, w）表示超立方体的顶点。按照每增加一个维度，顶点数翻倍的规律来看，超立方体的顶点是立方体的两倍，即 16 个顶点。一种典型的超立方体的所有顶点可由下表列出。
| Vertex | X | Y | Z | W |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 13 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 |
可以看到前 8 个顶点的 w 坐标值为 0，也就是说用这八个点去取出超立方体的一个超平面（hyperplane），这个超平面就是一个立方体。类似的，它有 32 条边，24 个面。
对边进行考虑，可以发现 12 条边构成一个立方体，将表格前八个顶点构成的立方体的 w 值设为 1（或者说将它沿 w 轴平移），将得到的几何体的每个顶点与变换前的顶点相连，计算边数得 12＋12+8 ＝ 32 条边。
利用离散数学的知识，我们可以建立顶点集和边集，用以表示一个超立方体。在绘制时将遍历边集，绘制出所有边，完成可视化的工作。
投影
类似在纸面上绘制立方体，我们将超立方体投影（projection）到三维空间，从而达到可视化的目的。若沿着 w 轴进行平行投影，可直接得出一个立方体，它们的顶点是重叠的（请参考这里）。
在可视化的同时为了便于观察和理解，我们将顶点的 w 值均匀(若可以动态旋转并投影，则是否为 1/3 就不重要了)的投影在其余坐标轴上。比如 P(x, y, z, w) 变换到 P(x-(1/3)w, y-(1/3)w, z-(1/3)w)。
这里的几何体仅仅进行了 xyz 轴的旋转，换句话说，只移动了摄像机。
旋转
利用 OpenGL 的工具函数可以方便的沿着某个轴进行旋转，所以沿着 x、y、z 轴旋转几何体是很方便的，旋转的结果也是易于理解的。若将 w 轴考虑在内的话，就必须要手工进行模型变换了，以 XW 旋转为例，使用变换矩阵：
[cos(t) 0 0 sin(t)
0 1 0 0
0 0 1 0
-sin(t) 0 0 cos(t)]
将模型中的点通过与变换矩阵相乘，所得点即为旋转后的点。之后进行投影和绘制。
生成结果
啊呀～和 Wiki 里的 GIF 图不太像，修改一下投影方法，完成～
不过，就算投影看上去是一个立方体嵌套在另一个里面，实际上却根本不是那回事。（至于旋转 XW 实际上发生了什么，对照下面链接中的平行坐标系大概就能看懂了。）
这里有一个不错的演示工具，可以提供参考：
http://exposedata.com/hypercube/rotate/